递推数列存在极限的证明与极限值求解思路与典型题分析(四)：通项公式法与数学软件验证法

【注】公式显示不全时，在公式上左右滑动显示

递推数列极限存在的证明与极限值的求解的通项公式法，就是借助递推数列的递推关系式推导得到递推数列的一般通项公式，然后通过通项公式验证极限的存在性和求得极限值。

比如，由递推关系式确定的数列

借助递推关系式，设法消去其中的或，仅保留，且将表示为的函数，然后再验证的极限存在性和求它的极限。

一般借助递推关系式寻求数列通项公式不是一件简单的事情，甚至有些根本无法用初等函数描述其项的变化规律；其中比较简单的，通常采用的方法为：

(1) 由递推关系式向前或向后推导，得到通项公式；

(2) 通过有限项观察规律，寻求可能通项表达式，并借助数学归纳法验证结论。

(3) 差分方程的方法. 具体可以参见专题：专题(15)：《差分方程》基本概念、线性差分方程求解思路与历届考研真题分析

另外也经常考虑使用矩阵的方法来求递推数列的通项公式. 下面我们就前面的两种思路分析两个例子，体会具体的求解步骤与过程：

例1：判定数列的极限是否存在，如果存在求它的极限值，其中数列由如下关系式确定：

【分析】：（向前推导） 由该数列的递推关系式，采用向前推导的方法，有

显然，等式右边的数列通项公式当极限存在，并且极限值等于2.

（向后推导） 由递推关系式，可得

猜想当时：

则当时，有

所以

【注】：通过验证该数列的项的有界性，比如可以验证，则既可以使用单调有界准则验证极限的存在性，也可以使用夹逼定理（定义法）来验证其极限的存在性。

例2：验证数列

逼近方程在附近的根。

对于这个数列的通项公式，可能稍微麻烦一点，我们也尝试使用上面的两种方法来探索它可能的通项公式。

（向前推导） 由递推公式，有

仔细考察后面部分的表达式，发现一个有意思的规律：分子、分母的系数及常数依次都为斐波拉契数列的项。如果我们把通常的斐波拉契数列向前推两项，即：

这样，后面部分的表达式可以写成

则容易推到得到的通项公式

由于

所以上式的极限存在，并且也就等于

（向后推导） 为了便于观察规律，令，于是

观察项特征：分子、分母的常数以及相应的系数都依次为1，1，2，3，5，8，13，….也就为斐波那契数列的项。依据这个规律，容易得到

得到与上面完全一样的通项公式。借助于

可以验证该通项公式满足递推关系式

【数学实验】

对于这个例题的递推关系，可以借助Mathematica数学软件来推导。另外对于具有初值和递推关系的数列，也可以直接通过RSolve命令求递推数列的通项（可求的前提下），然后直接求极限。比如这两个例题的Mathematica表达式及计算结果如下：

例1：Mathematica表达式及执行结果：

例2：Mathematica表达式及执行结果：

同时可以验证，这样得到的通项公式与我们上面推导得到通项公式是完全一样的。

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